Joint Distribution

Joint PMF，Probability Mass Function： $P(X=x,Y=y)$

• 联合分布 = 最全的信息

• 边际分布（Marginal Distribution） 和 条件分布（Conditional Distribution） 都能从联合分布推出来。

联合概率 / 边际概率 = 条件概率

计算 Joint PMF：

• 独立时：联合分布可以拆开成两个边缘分布相乘。
  $P(X,Y)=P(X)\cdot P(Y)$

• 不独立时：需要通过具体关系（比如 $Y=X+$第二个骰子）来计算，某些格子是 0，某些是 $1/36$。

• 联合分布表格里：

  • 非零的格子表示可能的组合；

  • 0 的格子表示不可能的事件。

Joint PDF, Probability Density Function： $P\left((X,Y)\in A\right)={\iint }_A{f}_{X,Y}(x,y)dxdy$

可视化：scatter plot、heatmap

两个变量的同步情况：Covariance