PDF, Probability Density Function

概率密度函数（Probability Density Function, 简称 PDF）是用来描述连续型随机变量在各个取值附近“分布密度”的函数。它不是“直接给出某个值的概率”，而是：

“该值附近的概率浓度（概率的分布速率）”

对于连续变量，$P(X=a)=0$，因为：

• 实数之间有无限多个可能值
• 精确落在一个点的概率趋近于 0

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📐 概率 = 区间下的面积

概率密度函数 $f(x)$ 满足：

• 概率是“面积”，而非函数值高度： $$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

当b为x，a为负无穷时，得到 CDF, Cumulative Distribution Function，描述了**随机变量 $X$ 小于或等于某个值 $x$ 的概率

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

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✅ PDF 必须满足的三个条件：

1. 非负性： $$f(x)\ge 0\text{对所有 }x\in \mathbb{R}$$
2. 归一性（总面积为 1）： $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$$
3. 定义在实数上（但可能在部分区间外为零）

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项目	离散分布（PMF）	连续分布（PDF）
随机变量类型	可数（如投硬币次数）	不可数（如时间、距离）
函数名称	概率质量函数 PMF $p(x)$	概率密度函数 PDF $f(x)$
单点概率	$P(X=x)>0$（可能有）	$P(X=x)=0$（永远为 0）
求区间概率方法	累加 $p(x)$	积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$
函数值含义	点概率	概率密度（非概率）
总和/总面积	$\sum p(x)=1$	$\int f(x)dx=1$

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📝 总结

• PDF 是连续型随机变量的核心工具
• 重点是理解“概率 = 曲线下的面积”
• PDF 本身不是概率，但可积得概率

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