当你想比较样本的均值和某个假设的总体均值（或两个样本的均值差异）时，但 总体标准差 不知道，就要用 t 分布来代替正态分布。
📌 常见的 t 检验类型
1. 单样本 t 检验（One-sample t-test）
- 问题：一个样本的均值 是否等于某个假设均值 ？
- 统计量：
- 例子：某药物治疗后的平均血压是否等于 120 mmHg？
2. 独立样本 t 检验（Independent two-sample t-test）
- 问题：两个 独立样本 的均值是否相等？
- 统计量（假设方差相等）： 其中 是合并标准差（pooled standard deviation）。
- 例子：男生和女生的平均成绩是否有显著差异？
3. 配对样本 t 检验（Paired t-test）
- 问题：同一组对象在两种条件下的均值差异是否显著？
- 做法：把“差值”当作新样本，转化为单样本 t 检验。
- 例子：同一批病人治疗前后的血糖差异。
Two-Sample t-Test 举例
🎯 背景
比较两个总体均值是否有差异，例如：
- 美国 18 岁人群身高
- 阿根廷 18 岁人群身高
样本数据：
- 美国：，，
- 阿根廷：，，
📌 假设
- 原假设 ：
- 备择假设 ：
- 单尾： 或
- 双尾：
📊 检验统计量
因为总体标准差未知，用样本标准差替代：
🔑 自由度 (Welch’s t-test)
如果两组方差不同，自由度用近似公式：
这里结果
🧮 计算结果
- 统计量：
单尾检验 ()
- p 值 = 0.0495 < 0.05
✅ 拒绝 ，认为美国均值更高。
双尾检验 ()
- p 值 = 0.0991 > 0.05
❌ 不能拒绝 ，没有显著差异证据。
Paired t-Test 举例
📌 核心思想
当我们有 两组相关样本（同一对象在两种条件下的观测值，比如治疗前/治疗后），就可以用配对 t 检验。
关键做法：
把两组数据的差值 当作一个新样本，转化为 单样本 t 检验。
📊 统计量公式
- 差值的样本均值：
- 差值的样本标准差：
- t 统计量：
其中：
- = 理论差值均值，在 下通常取 0（即无差异）。
- 自由度：
📍 假设检验
- 零假设 ：（两组均值无差异）
- 备择假设 ：
- 单尾检验： 或
- 双尾检验：
📝 示例
- 场景：检验训练计划是否能减肥
- 数据：每个人训练前后的体重，
- 计算结果：
- ，自由度
- p 值 = 0.0227 < 0.05
➡ 结论：拒绝 ，认为训练有效。