Test Statistic

$T$ 指的是 检验统计量（test statistic）：
把样本数据压缩成一个数，用来和 临界值 比较，决定是否拒绝原假设 $H_0$。 是从样本数据计算出来的一个“标准化差值”，表示样本均值 $\bar{X}$ 距离假设均值 ${\mu }_0$ 有多少个“标准误差（SE）”远。

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常见的 $T$ 形式

1. Z 检验（已知总体标准差 $\sigma$）

$$T=Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$

• $\bar{X}$：样本均值
• ${\mu }_0$：原假设中的总体均值
• $\sigma$：总体标准差（已知）

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2. t-Tests（未知 $\sigma$）

$$T=t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}},\text{df}=n-1$$

• $s$：样本标准差
• 服从 t 分布（自由度 $n-1$）

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3. 卡方检验（检验总体方差）

$$T={\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2},\text{df}=n-1$$

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4. F 检验（方差比/方差齐性）

$$T=F=\frac{s_1^2}{s_2^2},\text{df}=(n_1-1,n_2-1)$$

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用 $T$ 做决策

设显著性水平为 $\alpha$，对应临界值（或区间）为 $K_{\alpha }$：

• 右尾检验：拒绝域 $T>K_{\alpha }$
• 左尾检验：拒绝域 $T<K_{\alpha }$
• 双尾检验：拒绝域 $|T|>K_{\alpha /2}$（两侧各占 $\alpha /2$）