Normal Distribution

正态分布（也称高斯分布，Gaussian Distribution）是一种最常见、最重要的连续概率分布，广泛存在于自然界与统计模型中。

记作：

$$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$

• $\mu$：均值（mean），控制位置
• $\sigma$：标准差（standard deviation），控制宽度
• ${\sigma }^2$：方差（variance）

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📈 概率密度函数（PDF, Probability Density Function）

正态分布的密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\cdot \exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

• 对称于 $\mu$
• 越靠近均值概率越高
• 范围为 $(-\infty ,+\infty )$
• 面积为 1

🧠 直觉解释：

• 看起来像个“钟形曲线”（bell curve）
• 数据围绕 $\mu$ 分布，越远离 $\mu$，概率越低

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🧮 累积分布函数（CDF, Cumulative Distribution Function）

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

• 没有解析解（需要查表或用软件）
• 图像为 S 型曲线
• 越靠右，累计概率越接近 1

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🧠 标准正态分布

标准化后的正态分布：

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim \mathcal{N}(0,1)$$

• 均值为 0，标准差为 1
• 常用来查表和标准化变量，便于比较不同量纲的数据

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📌 期望和方差

名称	表达式
期望	$E[X]=\mu$
方差	$\text{Var}(X)={\sigma }^2$

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🧠 中心极限定理（Central Limit Theorem）

当一个随机变量是很多独立随机变量之和时，它趋近于正态分布——这就是为什么正态分布无处不在！

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🔁 总结

属性	表达式或特点
分布记号	$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$
PDF	$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
CDF	无解析解，查表或用软件近似计算
期望与方差	$E[X]=\mu$，$\text{Var}(X)={\sigma }^2$
标准正态分布	$\mathcal{N}(0,1)$
标准化公式	$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

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🔍 注意事项

• 所有正态分布的 PDF 积分值都是 1（是概率分布）
• 可以用 Z 分数比较不同分布下的值（例如考试成绩标准化）
• 在机器学习中很多模型默认特征服从正态分布（如 LDA、朴素贝叶斯）

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扩展维度：Multivariate Gaussian Distribution