在连续型数据分析中，我们通常想知道数据背后的概率密度函数（PDF） 的形状。
直方图（Histogram）是常见的近似方法，但它有两个缺点：
- 不平滑 —— 柱状图显示的“峰谷”更多来自分箱方式，而非真实分布；
- 分箱依赖性强 —— 不同的 bin 宽度会给出不同的结果。
➡️ 更好的办法是 核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）。
🔧 核密度估计的原理
1. 给每个样本点放一个“小山峰”
- 在每个数据点位置放一个核函数（kernel），常用高斯分布（Gaussian kernel）。
- 核函数控制“这个点的影响范围”。
2. 平滑参数：带宽（σ 或 h）
- 带宽小 → 曲线更“尖锐”，容易过拟合
- 带宽大 → 曲线更“平滑”，可能过度平滑
- 合适的带宽选择是 KDE 的核心
3. 所有核函数相加平均
如果数据为 ，核函数为 ，带宽为 ，KDE 的定义是：
其中：
- = 估计的密度函数
- = 核函数（如高斯核）
- = 带宽（控制平滑程度）
🎯 示例直观解释
- 在每个样本点放一个高斯曲线；
- 带宽控制高斯的“胖瘦”；
- 把所有高斯曲线加起来，再除以 ；
- 得到一条平滑的曲线，近似于真实 PDF。
📊 KDE vs Histogram
| 方法 | 特点 |
|---|---|
| Histogram | 简单直观，但受分箱影响大，不平滑 |
| KDE | 平滑近似真实 PDF，结果更稳健 |