determinant

最方便、通用而且不容易出错的方法就是**Gaussian Elimination 化为上三角矩阵**：

1. 用初等行变换把矩阵化成上三角（对角线下方全是 0）。

2. 记录变换对行列式的影响：

   • 交换两行：$\det$ 变号（乘 $-1$）

   • 某行乘 $k$：$\det$ 乘 $k$

   • 某行加另一行的倍数：$\det$ 不变

3. 化成上三角后，行列式 = 对角线上元素的乘积 × 所有变换的累计系数。

2×2

给 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$
$\det (A)=ad-bc$

例：$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right]$，$\det =1\cdot 3-1\cdot 2=1$

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3×3（Sarrus 法）

给 $A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$
$\det (A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$

例：$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right]$
$\det =1\cdot 1\cdot 0+2\cdot 4\cdot 5+3\cdot 0\cdot 6-3\cdot 1\cdot 5-2\cdot 0\cdot 0-1\cdot 4\cdot 6=40-15-24=1$

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一般 $n\times n$（拉普拉斯展开 / 代数余子式）

对第 $i$ 行展开： $\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{M}_{ij}$ 其中 $M_{ij}$ 是删去第 $i$ 行第 $j$ 列后的子式的行列式。

小技巧：选择零多的行/列展开更快。

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行初等变换对行列式的影响

• 交换两行：$\det$ 变号
• 某行乘以标量 $k$：$\det$ 乘以 $k$
• 某行加上另一行的 $k$ 倍：$\det$ 不变

实用法：用高斯消元把矩阵化为上三角，记录上述影响，最后对角线乘积即为 $\det$。

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三角矩阵 / 对角矩阵

若 $A$ 是上/下三角或对角矩阵：
$\det (A)={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$

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块三角矩阵

$A=\left[\begin{array}{cc}B& \ast \\ 0& C\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ \ast & C\end{array}\right]$
$\det (A)=\det (B)\det (C)$

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常用性质

• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
• $\det (A^T)=\det (A)$
• 若 $A$ 可逆，则 $\det (A)\ne 0$；且 $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$
• 任意两行（或两列）线性相关 $\Rightarrow \det (A)=0$