目标：把线性方程组一步步化成已解形式（solved system），即每个方程只含一个变量。
它把你之前学过的“消元法”重新包装成一个标准、可手算也可编程实现的算法，并且加上了常数列来真正解方程。
允许的等价变换（保持解集不变）
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交换方程（行交换）
例：交换第 1 行和第 2 行。 -
方程乘以非零常数（行倍乘）
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方程加/减另一个方程（行消元）
加起来得到
奇异与非奇异
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如果用这个方法过程中能一步步唯一解出所有变量 → 非奇异（）。
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如果出现整行变成 或 （） → 奇异（）。
1. 增广矩阵（Augmented Matrix）
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以前在判断矩阵奇异性时，只关心系数矩阵，常数项忽略不计（相当于右边全是 0）。
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现在要解方程，就必须把常数列也加进来，形成：
- 竖线只是视觉分隔，提醒右边是常数，不参与变量系数的行列式运算。
2. 高斯消元（从上到下）
目标：化为行阶梯形（REF）
步骤：
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选主元（pivot）：从左上角开始，沿对角线依次选。
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主元归一化：把主元行除以主元值，让主元变成 1。
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消去主元下方元素：用行运算把主元列中主元下面的数全变成 0。
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移动到下一行下一列，重复以上过程，直到矩阵呈楼梯形（对角线下方全是 0）。
3. 回代（Back Substitution）
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REF 只能保证“楼梯形”，解还没出来。
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从最后一行开始，利用主元消掉它上面的元素（这一步继续行运算）。
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最终得到简化行阶梯形（RREF）：对角线上全是 1，其他位置全是 0，这时直接读出解。
4. 奇异矩阵的判断
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如果消元中出现一整行都是 0（系数部分全 0）：
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右边常数也为 0 → 表示 恒成立 → 无约束 → 无穷多解。
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右边常数 ≠ 0 → 表示 () → 矛盾方程 → 无解。
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5. 高斯消元全流程总结
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写出增广矩阵
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上三角化（REF）
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回代化为单位阵（RREF）
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直接得到唯一解（或判断无穷多解 / 无解）