Critical Value

1. 定义

• 在假设检验中，临界值是这样一个数：
  如果观测统计量比它更“极端”，则拒绝原假设 $H_0$。
• 它依赖于显著性水平 $\alpha$。
• 临界值常写作 $k_{\alpha }$。

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2. 与 p 值的关系

• p 值法：计算样本对应的 p 值，与 $\alpha$ 比较，若 $p<\alpha$，则拒绝 $H_0$。
• 临界值法：先算好 $k_{\alpha }$，如果统计量落在临界区，就拒绝 $H_0$。
• 二者结论必须一致。

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3. 单尾检验

右尾检验

• 拒绝域：右尾
• 临界值条件： $$T>k_{\alpha }\Rightarrow \text{拒绝 }{H}_0$$
• 其中 $k_{\alpha }$ 满足： $$P(T>k_{\alpha }\mid H_0)=\alpha$$

左尾检验

• 拒绝域：左尾
• 临界值条件： $$T<k_{\alpha }\Rightarrow \text{拒绝 }{H}_0$$
• 其中 $k_{\alpha }$ 满足： $$P(T<k_{\alpha }\mid H_0)=\alpha$$

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4. 双尾检验

• 显著性水平 $\alpha$ 平分到两侧：$\alpha /2$。
• 两个临界值： $$k_{\alpha /2}^{\text{left}},k_{\alpha /2}^{\text{right}}$$
• 拒绝域： $$T<k_{\alpha /2}^{\text{left}}\text{或}T>k_{\alpha /2}^{\text{right}}$$

这里的 $T$ 指的是 检验统计量 (Test Statistic)

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5. 例子

• 假设：$H_0:\mu =66.7,H_1:\mu >66.7$
• 已知：$n=10,\sigma =3,\alpha =0.05$
• 临界值计算： $$k_{0.05}=68.26$$
• 若观测 $\bar{X}=68.44>68.26$，则拒绝 $H_0$。

如果换 $\alpha =0.01$：

$$k_{0.01}=68.91$$

此时 $68.44<68.91$ → 不拒绝 $H_0$。

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6. 优点

• 临界值法可以在实验前就确定拒绝规则。
• 这样能进一步计算二类错误概率（$\beta$），进而得到检验功效（power）。