Central Limit Theorem

无论原始分布如何（即使非常偏斜），当我们取大量相同规模的样本并计算其均值时，这些样本均值的分布会趋近于正态分布。

若 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为独立同分布随机变量，
每个 $X_i$ 有期望 $\mu$、方差 ${\sigma }^2$，定义样本平均：

$${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

则当 $n\to \infty$ 时：

$$\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\stackrel{d}{⟶}\mathcal{N}(0,1)$$

3. 应用场景

1. 抽样分布
   • 调查中用样本均值估计总体均值
   • 可用正态近似构造置信区间
2. Monte Carlo Simulation
   • 多次独立模拟结果的平均
   • 误差分布可用正态近似
3. 统计推断
   • 大样本下 t 检验、渐近检验、线性回归假设检验等