Monte Carlo Simulation

1. 核心定义

蒙特卡洛模拟是一种基于随机数抽样的方法，
用来估计数学问题或系统的结果、概率或期望。

它不依赖精确解析解，而是通过大量“随机试验”逼近问题的真实答案。

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2. 基本思想

设你要估计某个期望值 $\mathbb{E}[f(X)]$，
你可以：

1. 从 $X$ 的分布中随机采样 $x_1,x_2,\dots ,x_n$
2. 用样本平均代替真实期望： $$\hat{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)$$

→ 当 $n$ 足够大时，$\hat{\mu }$ 就逼近 $\mathbb{E}[f(X)]$

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3. 举个例子：估计 $\pi$

构造一个单位圆内的点 $(x,y)$，满足 $x^2+y^2\le 1$。

1. 生成 $N$ 个 $(x,y)$，在正方形 $[-1,1]\times [-1,1]$ 中均匀采样
2. 统计落在圆内的点的比例 $p$
3. 有： $$\pi \approx 4p$$

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4. 应用场景

• 积分近似（高维积分尤其擅长）
• 概率估计（如罕见事件发生概率）
• 不确定性传播分析（如金融风险建模）
• 物理模拟（如光线追踪、粒子扩散）
• 强化学习（策略评估）

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5. 优势与劣势

优势	劣势
简单直观，易实现	收敛慢，需大量样本
适合高维复杂模型	随机误差较大
可并行化实现	依赖高质量随机数生成器

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6. 与中心极限定理的关系

• 蒙特卡洛估计 $\hat{\mu }=\frac{1}{n}\sum f(x_i)$ 是一组随机变量的平均

• 当 $n$ 足够大时，根据中心极限定理，
  $\hat{\mu }$ 会近似服从正态分布，其标准差为：

  $$\text{std}(\hat{\mu })=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

→ 可用于构造置信区间

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7. 小结

要素	内容
本质	通过“试很多次”逼近数学答案
本质工具	随机采样 + 样本平均
收敛速度	$O(1/\sqrt{n})$，比较慢
典型领域	积分、物理仿真、金融建模、概率估计、RL 等

蒙特卡洛模拟是一种以时间换精度的策略，
在传统解析方法无能为力时，它是我们的“最后王牌”。

Monte Carlo Raytracing = 蒙特卡洛模拟思想应用于渲染积分

• 大数定律 是一个 数学定理，说明样本平均数会趋近于真实期望；

• 蒙特卡洛模拟 是一种 应用方法，用随机采样来估计数值问题的解。