Moment

Raw Moments

原点矩是指对变量本身取幂后的期望值：

$${\mu }_k^{\prime }=\mathbb{E}[X^k]$$

• 第 $k$ 阶原点矩：

  $${\mu }_k^{\prime }=\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i^k$$

• 一阶原点矩：${\mu }_1^{\prime }=\mathbb{E}[X]$（Mean），分布中心

• 二阶原点矩：${\mu }_2^{\prime }=\mathbb{E}[X^2]$

• 三阶原点矩：${\mu }_3^{\prime }=\mathbb{E}[X^3]$

• 四阶原点矩：${\mu }_4^{\prime }=\mathbb{E}[X^4]$

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Central Moments

中心矩是以均值 $\mu$ 为中心的偏移量的幂的期望：

$${\mu }_k=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X]{)}^k]$$

第 $k$ 阶中心矩：

$${\mu }_k=\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu {)}^k$$

• 一阶中心矩：${\mu }_1=0$（总为 0）
• 二阶中心矩：${\mu }_2=\text{Var}(X)$（Variance），离散程度
• 三阶中心矩：标准化后描述偏度（Skewness），分布对称性
• 四阶中心矩：标准化后描述峰度（Kurtosis），分布尖锐程度