Solving systems of linear equations

判断解的数量：先看是否奇异，然后比$r(A)和r(A|b)$

1. 改变方程等号右边的值（常数项）

   • 不改变法向量（即平面方向不变），只平移平面

   • 如果原本有唯一交点，可能变成无解（平移破坏交点）或无穷多解（平移到重合）

2. 两平面相交 → 一条直线
   三个平面共享同一条直线 → 无穷多解（line）

3. 两平面重合
   如果第三个平面和它们的交集是直线 → 无穷多解（line）
   如果第三个平面也重合 → 无穷多解（plane 或 all space）

4. 秩判定（Rouché–Capelli 定理）

   • $r(A)=r(A|b)=3$ → 唯一解

   • $r(A)=r(A|b)<3$ → 无穷多解

   • $r(A)<r(A|b)$ → 无解

解的过程：使用 Gaussian Elimination

• 解方程组时，我们会用“消元法”先消去一个变量，再回代求另一个变量。

• 如果只取方程的系数（丢掉常数项），这些消元步骤在矩阵上就是行变换（row operations）。

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行阶梯形矩阵 (Row Echelon Form, REF) 特征

在REF中：

1. 每行的第一个非零元（称为主元 pivot）都在上一行主元的右边。

2. 主元下面全是 $0$。

3. 主元可以不一定是 $1$（但常会用倍乘让它是 $1$）。

4. 在主元右边的元素任意，但在全零行右边不能再有非零。

即，长度不规律的楼梯

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简化行阶梯形矩阵 (RREF)

在 RREF 里，REF 的条件基础上还要满足：

• 每个主元是 $1$。

• 每个主元所在列其他位置都是 $0$（不仅下面是 $0$，上面也要是 $0$）。

即，只有对角线非零且为1

从 REF 得到 RREF：

1. 如果主元不是 1，就把这一行除以主元值，让它变成 1。

2. 用这一行去消掉主元列中上方的非零数（之前 REF 只清了下面的，现在要把上面的也清掉）。

3. 逐列重复，直到所有主元列都干净。

• 唯一性：同一个矩阵的 RREF 是唯一的，但 REF 不唯一。

• 秩 = 主元数（和 REF 一样）。

• 解的形式直观：RREF 实际上就是解线性方程组的“最终状态”，直接能读出解。

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4. REF 对解的提示

设：

• $r_A$ = 系数矩阵 $A$ 的秩
• $r_{[A|b]}$ = 增广矩阵的秩
• $n$ = 未知数个数

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Step 1：判断是否矛盾

• 如果 $r_A<r_{[A|b]}$
  → 输出 无解（矛盾行：$[00\dots |c],c\ne 0$）

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Step 2：若不矛盾（$r_A=r_{[A|b]}$）

• 如果 $r_A=n$
  → 输出 唯一解（无自由变量）

• 否则（$r_A<n$）
  → 输出 无穷多解（有自由变量） n是列数（一般 A 都是方阵）