1. 基本定义
二项分布用于描述如下类型的实验：
- 重复进行 次 Bernoulli Distribution 实验
- 每次实验只有 两个结果（成功/失败）
- 每次实验的成功概率是
- 目标变量 是“成功的次数”
我们记作：
2. 场景直觉（以抛硬币为例）
抛 5 次硬币，问出现 2 次正面的概率是多少？
- 每个序列（如：HTHTT）出现的概率都是
- 出现 2 个正面的序列总共有 10 种
- 所以：
3. 一般公式（PMF）
**概率质量函数（PMF）**如下：
其中：
- 是 Binomial Coefficient：“从 次实验中取 次成功”
- 是成功的概率
- 是失败的概率
4. 示例图像与对称性
✅ 如果 （公平硬币）：
- 分布是对称的
- 最大值出现在
⚠️ 如果 ：
- 分布是偏斜的（skewed）
- 比如 ，更偏向 0 附近（成功次数少）
7. 常见性质总结
- 期望：
- 方差：
📐 二项分布的期望与方差推导
🎯 设定
设 ，表示进行 次独立伯努利试验（每次成功概率 ）， 是成功次数。
我们可以将 拆成 个独立的 0-1 伯努利变量之和：
🧮 期望（Expectation）
利用期望的线性性：
对于伯努利变量：
所以：
📊 方差（Variance）
利用独立变量方差可加性：
对于伯努利变量：
所以：