Bernoulli Distribution

1. 定义

伯努利分布描述一个只有两种结果的随机试验，记随机变量 $X$ 为一次试验的结果：

$$X=\{\begin{array}{ll}1& \text{Success}\\ 0& \text{Failure}\end{array}$$

其中：

• 成功的概率为 $p$
• 失败的概率为 $1-p$

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2. 概率质量函数（PMF，Probability Mass Function）

$$P(X=x)=p^x(1-p{)}^{1-x},x\in \{0,1\}$$

展开后为：

• $P(X=1)=p$
• $P(X=0)=1-p$

5. 期望与方差

• 期望值（均值）：

  $$E[X]=p$$

• 方差（波动）：

  $$\text{Var}(X)=p(1-p)$$

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6. 与二项分布关系

• 伯努利分布是二项分布的特例，即 $n=1$ 的情况：

  $$\text{Bern}(p)=\text{Binomial}(n=1,p)$$