rank

1. 秩（Rank）的直观理解

• 定义：矩阵的秩 = 该矩阵对应的线性方程组所包含的“独立信息量”= 独立方程的个数。

• 每个独立方程相当于增加一个“约束条件”，帮助缩小解的范围。

• 秩越高，约束越多，解空间越小。

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2. 例子类比

• 系统 1：
  句子① “狗是黑的”
  句子② “猫是橙的”
  → 两条信息 → 秩 = 2

• 系统 2：
  句子① “狗是黑的”
  句子② “狗是黑的”（重复）
  → 一条信息 → 秩 = 1

• 系统 3：
  句子① “狗”
  句子② “狗”
  → 不包含颜色信息 → 秩 = 0

系统	方程之间关系	独立方程数	秩	几何解
System 1	三个方程互相独立	3	3	点
System 2	第二个方程 = 第一个和第三个的平均	2	2	直线
System 3	后两个方程是第一个的倍数	1	1	平面
System 4	所有方程恒等于0（无信息）	0	0	整个 ${\mathbb{R}}^3$

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3. 与解空间的关系

设 $m$ = 矩阵行数，$\text{dim}(\text{解空间})$ = 齐次方程 $Ax=0$ 的解空间维数：

$rank(A)+dim(解空间)=m$

• 秩大 → 解空间维数小。

• 秩 = $m$（满秩） → 只有零解（非奇异矩阵）。

• 秩 < $m$ → 有无穷多解（奇异矩阵）。

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4. 奇异性与满秩的关系

• 满秩（$\text{rank}(A)=m$）：矩阵非奇异，可逆。

• 非满秩（$\text{rank}(A)<m$）：矩阵奇异，不可逆。

矩阵 = 变换

• 任何 $n\times n$ 矩阵都可以看成是从 $n$ 维空间到 $n$ 维空间的线性变换。

• 秩 = 这个变换的输出空间的维度（能覆盖多少方向的变化）。

• 满秩（秩 = $n$）：输出空间维度 = 输入空间维度 → 没有任何方向被压缩掉 → 每个输入都有唯一的输出 → 变换可逆。

• 非满秩：比如压平到 0：指在某些方向上，输入的变化完全消失（映射成 0 向量），无法恢复为变化前的状态，信息丢失