p-value

1. 定义

p 值是在假设检验中衡量“样本结果是否极端”的指标。
正式定义：
在零假设 $H_0$ 为真时，检验统计量（如样本均值、z 值、t 值）取到 和观测值一样极端或更极端 （实验结果与观测相符）的概率。

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2. 直观解释

• 如果 $p$ 很小，说明在 $H_0$ 成立时得到当前样本的可能性极低 → 有理由怀疑 $H_0$。
• 如果 $p$ 很大，说明样本结果在 $H_0$ 的分布中很常见 → 没有足够证据拒绝 $H_0$。

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3. 决策规则

• 设显著性水平 $\alpha$（如 $0.05$ 或 $0.01$）。
• 若 $p<\alpha$ → 拒绝 $H_0$，接受 $H_1$。
• 若 $p\ge \alpha$ → 不拒绝 $H_0$。

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4. 不同检验下的 p 值计算

• 右尾检验：
  $p=P(\text{统计量}\ge \text{观测值}\mid H_0)$

• 左尾检验：
  $p=P(\text{统计量}\le \text{观测值}\mid H_0)$

• 双尾检验：
  $p=2\cdot P(\text{统计量}\ge |\text{观测值}|\mid H_0)$
  （取双侧尾部概率）

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5. 示例

• 假设 $H_0:\mu =66.7$，总体标准差 $\sigma =3$，样本量 $n=10$，观测均值 $\bar{x}=68.442$。

• 转换为标准化统计量：

  $$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{68.442-66.7}{3/\sqrt{10}}\approx 1.837$$

• 右尾检验：
  $p=P(Z\ge 1.837)\approx 0.0332<0.05$ → 拒绝 $H_0$。

• 双尾检验：
  $p=2\cdot P(Z\ge 1.837)\approx 0.0663>0.05$ → 不拒绝 $H_0$。

• 左尾检验（假设观测均值是 $64.252$）：
  $p=P(Z\le -2.57)\approx 0.0049<0.01$ → 拒绝 $H_0$。

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6. 总结

• p 值不是“$H_0$ 为真的概率”，而是在 $H_0$ 为真时观测结果的稀有程度。
• $p$ 小 → 数据与 $H_0$ 不符，拒绝 $H_0$。
• $p$ 大 → 数据与 $H_0$ 相符，保留 $H_0$。
• 显著性水平 $\alpha$ 决定了拒绝 $H_0$ 的门槛。