numpy

1. NumPy 的优点

   • 比 Python list 更快、更节省内存。

   • 有大量内置函数，方便进行矩阵和向量运算。

2. 数组创建

   • np.array()：直接从 list 创建。

   • np.arange(start, stop, step)：按步长生成。

   • np.linspace(start, stop, num)：生成等间隔的指定数量值。

   • np.ones() / np.zeros() / np.empty() / np.random.rand()。

3. 多维数组

   • .ndim 维数

   • .shape 形状

   • .size 元素个数

   • np.reshape() 改变形状

4. 运算

   • 元素级加减乘除：+ - * /

   • 广播（broadcasting）：数组和标量运算自动扩展。

5. 索引和切片

   • 索引 [row][col] 或 [row, col]。

   • 切片 [start:end:step]。

6. 堆叠与拆分

   • np.vstack() 垂直堆叠

   • np.hstack() 水平堆叠

   • np.hsplit() 水平拆分

7. 区别

   • np.zeros() → 已初始化为 0。

   • np.empty() → 未初始化，内容是内存中的随机值。

linalg

1 线性方程组与矩阵表示

1.1 线性方程组

示例系统（编号(1)）： $-x_1+3x_2=7,3x_1+2x_2=1$

定义：若线性系统没有唯一解则称为奇异，否则为非奇异。

1.2 矩阵表示

将(1)写成增广矩阵： $\left[\begin{array}{ccc}-1& 3& 7\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$

将系数与常数分开：
$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 3& 2\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right]$

import numpy as np
 
A = np.array([[-1, 3],
              [ 3, 2]], dtype=float)
b = np.array([7, 1], dtype=float)
 
print("Matrix A:\n", A)
print("\nArray b:\n", b)
 
print(f"Shape of A: {A.shape}")
print(f"Shape of b: {b.shape}")

使用 np.linalg.solve(A, b) 解方程：

x = np.linalg.solve(A, b)
print(f"Solution: {x}")  # x[0] = x1, x[1] = x2

1.3 行列式与唯一解

若 $A$ 为方阵，则：

• $\det (A)\ne 0\Rightarrow$ 唯一解（非奇异）

• $\det (A)=0\Rightarrow$ 非唯一（奇异）

d = np.linalg.det(A)
print(f"Determinant of matrix A: {d:.2f}")  # 非零 → 唯一解

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2 将 2×2 系统可视化为直线

2.1 构造增广矩阵以作图

增广矩阵形式（对应(1)）：
$\left[\begin{array}{ccccc}-1& 3& 73& 2& 1\end{array}\right]$

import matplotlib.pyplot as plt
from utils import plot_lines
 
A_system = np.hstack((A, b.reshape((2, 1))))
print(A_system)
 
print(A_system[1])  # 取第二行

2.2 作图与解的几何意义

两条直线交点 $(x_1,x_2)$ 即为解：

plot_lines(A_system)  # 交点应为 (-1, 2)