Matrix inverse

矩阵的逆（Inverse Matrix）

我们可以把矩阵的逆类比成数字的倒数：

• 数字 $2$ 的倒数是 $\frac{1}{2}$，因为 $2\cdot \frac{1}{2}=1$
• 矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 满足：

$$A\cdot A^{-1}=I$$

其中 $I$ 是单位矩阵。

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1. 几何意义

• $A$ 表示一个线性变换，把单位方形变成一个平行四边形。
• $A^{-1}$ 则是能把这个平行四边形变回原单位方形的变换。
• 组合 $A^{-1}\circ A$ 等于恒等变换（什么都不做）。

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2. 符号

和数字一样，我们用 $A^{-1}$ 表示逆矩阵：

• $2^{-1}=\frac{1}{2}$
• $A^{-1}$ 表示矩阵 $A$ 的逆

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3. 如何求逆矩阵（$2\times 2$ 情况）

设

$$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

要求 $A\cdot A^{-1}=I$，即：

$$\{\begin{array}{l}3a+1c=1\\ 3b+1d=0\\ 1a+2c=0\\ 1b+2d=1\end{array}$$

解得：

$$a=\frac{2}{5},b=-\frac{1}{5},c=-\frac{1}{5},d=\frac{3}{5}$$

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4. 逆矩阵存在条件

矩阵和数字的倒数很像： 数字 $0$ 没有倒数，因为没有任何数与 $0$ 相乘等于 $1$

• 有些矩阵有逆（可逆矩阵 / invertible）：非奇异矩阵
• 有些矩阵没有逆（不可逆矩阵 / non-invertible）：奇异矩阵

行列式（determinant）是判断矩阵是否可逆的核心：

$$\det (A)\ne 0\Rightarrow A\text{ 可逆}$$ $$\det (A)=0\Rightarrow A\text{ 不可逆}$$