basis

能铺满整个span的最小方向集合

• 把两个向量放成一个 $2\times 2$ 矩阵 $[v_1,v_2]$

• 如果 $\det \ne 0$ → 是基

• 如果 $\det =0$ → 不是基

• 维数 dim(V) = 该空间任一组基的向量个数。

• 例子：

  • ${\mathbb{R}}^1$（直线） → 基有 1 个向量。

  • ${\mathbb{R}}^2$（平面） → 基有 2 个向量。

  • ${\mathbb{R}}^3$（三维空间） → 基有 3 个向量。

判定方法

3.1 判定是否是基

1. 检查能否生成整个空间（看 span）。

2. 检查是否线性无关（解线性方程组）。

3.2 判定线性无关

• 把向量写成列向量，组成矩阵 $A$。

• 解 $A\mathbf{c}=0$：

  • 只有零解 $\mathbf{c}=0$ → 无关。

  • 存在非零解 → 有关。

判断解是否组成基：判断能否在变换后到达span上的某点

向量个数 vs 维数	是否可能是基	解的情况
少于维数	❌	无解（大部分情况），特殊情况下唯一解
等于维数 且线性无关	✅	唯一解
等于维数 且线性相关	❌	无解（大部分情况），特殊情况下无穷多解
多于维数	❌	总有解，但无穷多解

eigenbasis

一个特殊的基底，使得矩阵的线性变换在这个基下只是沿着基向量方向做拉伸（伸缩），而不会改变方向

为什么有用

• 在普通基下，A 的作用是“剪切+拉伸”，计算复杂。

• 在特征基下，A 变成对角矩阵：

• 线性变换变成两个独立的伸缩操作，计算大大简化。

• 在机器学习里，这就是 PCA 找主成分方向的核心思想：找到数据的特征基，对应方差最大的方向。