Epipolar Geometry

这张图展示的是对极几何（Epipolar Geometry），它是多视图几何和 SfM/MVS 里的核心概念。逐个元素解释如下：

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图中元素

• 3D World Point P
  三维空间中的某个点 $P$，被两个相机同时看到。

• Camera 1 Centre / Camera 2 Centre
  两个相机的光心（投影中心）。它们之间的连线叫做 基线 (Baseline)。

• Image 1 / Image 2
  两个相机的成像平面。

  • $X_1$ 是 $P$ 在第一张图像上的投影点。

  • $X_2$ 是 $P$ 在第二张图像上的投影点。

• Epipolar Plane
  由 $P$ 和两个相机中心构成的平面，叫做 对极平面。

  • 这个平面与两张图像平面的交线就是对极线 (Epipolar Line)。

  • 图中虽然没画对极线，但可以想象：$P$ 在 Image 1 的投影 $X_1$，通过 $X_1$ 会有一条对极线，它一定会穿过对应的对极点 $e_2$。同理 $X_2$ 对应一条过 $e_1$ 的对极线。

• Epipoles $e_1,e_2$
  相机2的光心在相机1图像平面的投影是 $e_1$；
  相机1的光心在相机2图像平面的投影是 $e_2$。
  它们叫 对极点 (Epipole)。

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核心关系

1. 三维点 $P$ 的投影 $X_1$ 在第一张图像中。
   它在第二张图像中的对应点 $X_2$，必须位于过 $e_2$ 的那条对极线上。
   这就是对极约束（epipolar constraint）。

2. 数学上，这种约束写成：
   x2TFx1=0x_2^T F x_1 = 0
   其中 $F$ 是基础矩阵 (Fundamental Matrix)，$x_1,x_2$ 分别是齐次坐标形式的点。

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直观理解

• 你有两台相机，看同一个3D点。

• 由于两相机和点 $P$ 构成一个平面，所以投影到两张图像时，对应点必须落在对应的对极线上。

• 这大大减少了搜索匹配点的范围：从“整张图像”缩小到“一条直线”。

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要不要我帮你把这张图用简单的 类比故事（比如“用两只眼睛看一支笔”）来解释？这样在做PPT汇报时会更直观。