Diagonalization

把矩阵换成一个最简单的“对角矩阵”形式

• 对角化的前提就是：
  几何重数之和 = 矩阵阶数（有足够多线性无关的特征向量）。

• 如果特征值重复但几何重数不足，就不能对角化。

• 代数重数（Algebraic Multiplicity）：这个特征值最多能给出多少条线性无关特征向量。

• 几何重数（Geometric Multiplicity）：每个特征值能给你多少个互相独立的方向。把所有特征值的方向数量加起来，如果刚好等于 $n$，说明你能用这些方向拼成整个空间的一组基（eigenbasis）。

• 规律：

  • 几何重数 ≤ 代数重数。

  • 如果几何重数 < 代数重数，就不能得到足够多的特征向量来构成一组基（eigenbasis）。

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矩阵对角化判断流程

1. 求特征多项式

   • 解 $\det (A-\lambda I)=0$

   • 得到所有特征值及其代数重数 AM(${\lambda }_i$)。

2. 求几何重数

   • 对每个 ${\lambda }_i$，解齐次方程 $(A-{\lambda }_{i}I)v=0$。

   • 自由变量个数 = 几何重数 GM(${\lambda }_i$)。

3. 判断可对角化性

   • 若对所有 ${\lambda }_i$ 都有 GM(${\lambda }_i$) = AM(${\lambda }_i$)，则可对角化。

   • 或者等价地：${\sum }_i\text{GM}({\lambda }_i)=n$ → 有完整的特征基。

   • 否则不可对角化。